CBSE इयत्ता 12 गणिताचा धडा 7 इंटिग्रल्स रिव्हिजन नोट्स: 2023 च्या बोर्डाच्या परीक्षा जवळ आल्याने, पुस्तके खाली ठेवण्याची आणि परीक्षेची तयारी सुरू करण्याची वेळ आली आहे. गणित हा एक असा विषय आहे ज्यासाठी सराव आणि सखोल पुनरावृत्ती आवश्यक आहे. शैक्षणिक वर्षाच्या शेवटच्या टप्प्यात, विद्यार्थ्यांना नवीन संकल्पना शिकण्यापेक्षा उजळणीवर लक्ष केंद्रित करण्याचा सल्ला दिला जातो.
CBSE इयत्ता 12वी बोर्डाच्या परीक्षा 15 फेब्रुवारी 2024 पासून सुरू होणार आहेत आणि गणिताचा पेपर 9 मार्च रोजी होणार आहे. इयत्ता 12वीच्या गणिताच्या पुस्तकातील सातवा अध्याय इंटिग्रल्स आहे. कॅल्क्युलस विभागाचा भाग म्हणून हा अभ्यासक्रमातील सर्वात महत्त्वाचा आणि महत्त्वाचा अध्याय आहे.
तुम्ही CBSE इयत्ता 12 व्या अध्याय 7 इंटिग्रल्स रिव्हिजन नोट्स येथे पाहू शकता, तसेच अतिरिक्त अभ्यास संसाधने जसे की मन नकाशे आणि बहु-निवडीचे प्रश्न.
CBSE वर्ग 12 गणित धडा 7 इंटिग्रल्स पुनरावृत्ती नोट्स
मूलभूत व्याख्याएस, सारांश आणि सूत्रे
एकत्रीकरण
डिफरेंशियल कॅल्क्युलसमध्ये, आपल्याला एक फंक्शन दिले जाते आणि आपल्याला या फंक्शनचे व्युत्पन्न किंवा डिफरेंशियल शोधायचे आहे, परंतु इंटिग्रल कॅल्क्युलसमध्ये, आपल्याला एक फंक्शन शोधायचे आहे ज्याचे डिफरेंशियल दिले आहे. अशा प्रकारे, एकीकरण ही एक प्रक्रिया आहे जी भिन्नतेचा व्यस्त आहे.
या अविभाज्यांना अनिश्चित पूर्णांक किंवा सामान्य पूर्णांक म्हणतात, C ला समाकलनाचा स्थिरांक म्हणतात. हे सर्व अविभाज्य स्थिरांकाने भिन्न असतात.
निश्चित इंटिग्रल्स
एक निश्चित अविभाज्य म्हणजे दोन निश्चित मर्यादांमधील वक्र अंतर्गत क्षेत्र.
एक निश्चित अविभाज्य द्वारे दर्शविले जाते a∫b ƒ(x)dx, कुठे a अविभाज्य आणि कमी मर्यादा म्हणतात b इंटिग्रलची वरची मर्यादा म्हणतात.
निश्चित अविभाज्य हे एकतर बेरीजची मर्यादा म्हणून ओळखले जाते किंवा इंटरव्हलमध्ये अँटी डेरिव्हेटिव्ह F असल्यास (a, b), तर त्याचे मूल्य हे अंतिम बिंदूंवरील F च्या मूल्यांमधील फरक आहे, म्हणजे, F(आ) – एफ(अ).
निश्चित इंटिग्रल्सचे गुणधर्म
प्रतिस्थापनाद्वारे निश्चित पूर्णांकांचे मूल्यमापन
मागील भागांमध्ये, आम्ही अनिश्चित अविभाज्य शोधण्यासाठी अनेक पद्धतींची चर्चा केली आहे. अनिश्चित अविभाज्य शोधण्यासाठी महत्त्वाच्या पद्धतींपैकी एक म्हणजे प्रतिस्थापनाची पद्धत.
मूल्यमापन करणे a∫b ƒ(x)dx, प्रतिस्थापनानुसार, पायऱ्या खालीलप्रमाणे असू शकतात:
- मर्यादा आणि पर्यायाशिवाय अविभाज्य विचार करा, y = f (x)किंवा x = g(y) दिलेल्या इंटिग्रलला ज्ञात स्वरूपात कमी करण्यासाठी.
- इंटिग्रेशनच्या स्थिरतेचा उल्लेख न करता नवीन व्हेरिएबलच्या संदर्भात नवीन इंटिग्रँड समाकलित करा.
- नवीन व्हेरिएबलची पुनर्स्थित करा आणि मूळ व्हेरिएबलच्या दृष्टीने उत्तर लिहा.
- अविभाज्य मर्यादेत (3) मध्ये मिळालेल्या उत्तरांची मूल्ये शोधा आणि वरच्या आणि खालच्या मर्यादेतील मूल्यांमधील फरक शोधा.
अनिश्चित पूर्णांक
इंटिग्रलला कोणतीही वरची आणि खालची मर्यादा नसते.
इंटिग्रल कॅल्क्युलसचे पहिले मूलभूत प्रमेय
क्षेत्र फंक्शन A(x) = द्वारे परिभाषित करू द्या a∫x सर्व x ≥ a साठी ƒ(x)dx, जेथे फंक्शन ƒ (a, b) वर सतत आहे असे गृहीत धरले जाते. नंतर सर्व x ∈ (a, b) साठी A′(x) = ƒ (x).
इंटिग्रल कॅल्क्युलसचे दुसरे मूलभूत प्रमेय
ƒ हे बंद अंतराल (a, b) वर परिभाषित केलेले x चे सतत फंक्शन असू द्या आणि F हे दुसरे फंक्शन असू द्या जसे की ƒ च्या डोमेनमधील सर्व x साठी d/dx F(x) = ƒ(x), नंतर
याला श्रेणी (a, b) वर ƒ चे निश्चित अविभाज्य असे म्हणतात, जेथे a आणि b ला एकत्रीकरणाची मर्यादा म्हणतात, a ही खालची मर्यादा आणि b वरची मर्यादा आहे.
मानक इंटिग्रल्स
प्रतिस्थापनाद्वारे एकत्रीकरण
एकीकरणाच्या चलातील बदलामुळे अनेकदा मूलभूत अविभाज्यांपैकी एकाचा अविभाज्य भाग कमी होतो. ज्या पद्धतीमध्ये आपण व्हेरिएबलला इतर व्हेरिएबलमध्ये बदलतो तिला बदलण्याची पद्धत म्हणतात. जेव्हा इंटिग्रँडमध्ये काही त्रिकोणमितीय फंक्शन्स असतात, तेव्हा आम्ही इंटिग्रल्स शोधण्यासाठी काही सुप्रसिद्ध ओळख वापरतो. प्रतिस्थापन तंत्राचा वापर करून, आम्ही खालील मानक पूर्णांक प्राप्त करतो.
(i) ∫tanxdx = log|secx|+ C
(ii) ∫cotxdx = log|sinx|+ C
(iii) ∫secxdx= log|secx + tanx|+ C
(iv) ∫cosecxdx = log|cosecx – cotx|+ C
खाली CBSE इयत्ता 12 गणिताच्या अध्याय 7 इंटिग्रल्स रिव्हिजन नोट्ससाठी संपूर्ण PDF पहा आणि डाउनलोड करा.