CBSE इयत्ता 12 गणित धडा 1 संबंध आणि कार्ये पुनरावृत्ती नोट्स
मूलभूत व्याख्या आणि सारांश
संबंध
जर A आणि B हे दोन रिक्त नसलेले संच असतील, तर A ते B चे संबंध R हा A x B चा उपसंच आहे.
जर R ⊆ A x B आणि (a, b) ∈ R असेल, तर आपण म्हणतो की a हे b शी संबंधित R द्वारे aRb असे लिहिलेले आहे.
डोमेन आणि नात्याची श्रेणी
R ला संच A पासून B सेट करण्यासाठी संबंध असू द्या. मग, R च्या संबंधित सर्व प्रथम घटकांचा किंवा क्रमबद्ध जोड्यांचा संच R चे डोमेन असे म्हणतात, तर सर्व दुसऱ्या घटकांचा किंवा निर्देशांकांचा संच = क्रमबद्ध जोड्यांचा R च्या श्रेणीला R ची श्रेणी म्हणतात.
अशा प्रकारे, R = {a : (a , b) ∈ R} चे डोमेन आणि R = {b : (a, b) ∈ R} ची श्रेणी
रिकामे नाते R = φ ⊂ X × X ने दिलेला X मधील R हा संबंध आहे.
सार्वत्रिक संबंध R = X × X ने दिलेला X मधील R हा संबंध आहे.
रिफ्लेक्सिव्ह रिलेशन X मधील R हा (a, a) ∈ R ∀ a ∈ X शी संबंध आहे.
सममितीय संबंध X मधील R हे समाधानकारक नाते आहे (a, b) ∈ R म्हणजे (b, a) ∈ R.
सकर्मक संबंध X मधील R हे समाधानकारक नाते आहे (a, b) ∈ R आणि (b, c) ∈ R हे सूचित करते की (a, c) ∈ R.
समतुल्य संबंध X मधील R हे रिफ्लेक्झिव्ह, सिमेट्रिक आणि ट्रांझिटिव्ह असे नाते आहे.
X मधील समतुल्य संबंध R साठी ∈ X असलेला समतुल्यता वर्ग (a) हा X चा उपसंच आहे ज्यामध्ये अ शी संबंधित सर्व घटक b आहेत.
फंक्शन f : X → Y हे एक-एक (किंवा इंजेक्शन) असल्यास
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 ∀ x1, x2 ∈ X.
फंक्शन f : X → Y वर (किंवा व्यक्तिपरक) कोणतेही y ∈ Y, ∃ x ∈ X असे f(x) = y दिले असल्यास.
फंक्शन f : X → Y हे एक-एक आणि ऑन (किंवा द्विजात्मक) आहे, जर f एक-एक आणि ऑन दोन्ही आहे.
एक मर्यादित संच X दिल्यास, फंक्शन f : X → X हे एक-एक (अनुक्रमे वर) असेल आणि जर f वर असेल (अनुक्रमे एक-एक). ही मर्यादित संचाची वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म आहे. हे अनंत संचासाठी खरे नाही.
सराव प्रश्न:
प्रश्न 1: खालीलपैकी प्रत्येक संबंध रिफ्लेक्सिव्ह, सिमेट्रिक आणि ट्रान्सिटिव्ह आहेत की नाही ते शोधा.
(i) A संचातील संबंध R = {1, 2, 3…13, 14} म्हणून परिभाषित
R = {(x, y): 3x −y = 0}
(ii) परिभाषित केलेल्या नैसर्गिक संख्यांच्या N संचातील संबंध R
R = {(x, y): y = x + 5 आणि x < 4}
(iii) संच A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} मधील संबंध R
R = {(x, y): y हा x ने भाग जातो}
उत्तर:
(i) A = {1, 2, 3 … 13, 14}
R = {(x, y): 3x −y = 0}
∴R = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}
(1, 1), (2, 2) … (14, 14) ∉ R पासून आर रिफ्लेक्सिव्ह नाही.
तसेच, R हे (1, 3) ∈R म्हणून सममित नाही, परंतु (3, 1) ∉ R. (3(3) − 1 ≠ 0)
तसेच, R हे (1, 3), (3, 9) ∈R म्हणून संक्रामक नाही, परंतु (1, 9) ∉ R.
(३(१) − ९ ≠ ०)
म्हणून, R हे रिफ्लेक्सिव्ह किंवा सममितीय किंवा सकर्मक नाही.
(ii) R = {(x, y): y = x + 5 आणि x < 4} = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}
असे दिसून येते की (1, 1) ∉ आर.
∴R रिफ्लेक्सिव्ह नाही. (1, 6) ∈ आर
पण,(6, 1) ∉ आर.
∴R सममितीय नाही.
आता, R मध्ये (x, y) आणि (y, z) ∈R अशी कोणतीही जोडी नसल्यामुळे (x, z) R चे असू शकत नाही.
∴ R संक्रमणात्मक नाही.
म्हणून, R हे रिफ्लेक्सिव्ह किंवा सममितीय किंवा सकर्मक नाही.
(iii) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
R = {(x, y): y हा x ने भाग जातो}
आपल्याला माहित आहे की कोणतीही संख्या (x) स्वतःच भागता येते.
(x, x) ∈R
∴R रिफ्लेक्सिव्ह आहे.
आता, (2, 4) ∈R (जसे 4 2 ने भाग जातो)
पण, (4, 2) ∉ R. (जसे 2 ला 4 ने भाग जात नाही)
∴R सममितीय नाही.
चला (x, y), (y, z) ∈ R. नंतर, y ला x ने भाग जातो आणि z ला y ने भाग जातो.
∴z हा x ने भाग जातो.
⇒ (x, z) ∈R
∴R सकर्मक आहे.
म्हणून, R हे प्रतिक्षेपी आणि सकर्मक आहे परंतु सममित नाही.
